Definición formal

La definición de un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman vectores, dotado de dos operaciones:

  • suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w
  • producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av.

que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas (u, v, w son vectores arbitrarios de V, y a, b son escalares, respectivamente):

Propiedad Significado
Propiedad asociativa de la suma u + (v + w) = (u + v) + w
Propiedad conmutativa de la suma v + w = w + v
Existencia de elemento neutro o nulo de la suma Existe un elemento 0 ∈ V, llamado vector cero o nulo, de forma que v + 0 = v para todo v ∈ V.
Existencia de elemento opuesto o simétrico de la suma Para todo v ∈ V, existe un elemento -v ∈ V, llamado opuesto de v, de forma que v + (-v) = 0.
Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de vectores a (v + w) = a v + a w
Propiedad distributiva del producto por un vector respecto a la suma de escalares (a + b) v = a v + b v
Propiedad asociativa mixta del producto por un escalar a (b v) = (ab) v[nb 1]
Existencia de elemento unidad del producto por un escalar 1 v = v, donde 1 es la identidad multiplicativa en K

Con esta definición puede comprobarse que R2, con la suma y producto vistos arriba, es por tanto un espacio vectorial. Comprobar los axiomas se reduce a verificar identidades sencillas como

(x, y) + (0, 0) = (x, y),

i.e. la suma de un vector nulo (0, 0) con otro vector produce el mismo vector. La propiedad distributiva lleva a

(a + b) · (x, y) = a · (x, y) + b · (x, y).